| 课程简介 | 教师队伍 |
| 课程名称： | 高等数学A》 | 一级学科： | 07 理学 |
| 二级学科： | 0701 数学类 | 教学层次： | 本科 |
| 负责教师： | 王家军 | 学校名称： | 浙江林学院 |
| 院系名称： | 申报状态： | 申报中 | |
| 申报级别： | 省级 | 申报文件下载： | 无下载文件 |
| 获奖名称： | 获奖年度： | 2005 | |
| 主页地址： | http://classroom.zjfc.edu.cn/C122/Root/Index.asp | 是否交换： | 否 |
| 浏览次数： | 5452 | 网上评论： | 没有相关评论 |
| 课程介绍： |
A.函数、极限、连续 1．? 函数的概念和表示法? 函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）反函数、复合函数? 分段函数和隐函数? 基本初等函数的性质和图形? 初等函数 2．? 数列? 数列与函数极限的定义及它们的性质? 函数的左、右极限? 无穷小与无穷大? 无穷大? 无穷小、无穷小与函数极限的关系? 无穷小的性质和无穷小的比较? 等价无穷小 3．? 极限的四则运算? 极限存在的两个准则? 两个重要极限 4．? 函数连续的概念? 函数间断点的类型? 反函数与复合函数的连续? 基本初等函数和初等函数的连续性? 闭区间上连续函数的性质 B.导数与微分 1．? 导数的定义? 导数的几何意义? 函数的可导性与连续性之间的关系? 平面曲线的切线与法线? 基本初等函数的导数 2．? 导数的四则运算? 函数的和、差、积、商的求导法则? 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程表示的函数的求导法则 3．? 高阶导数的概念? 某些简单函数的n阶导数 4．? 微分的定义? 微分的几何意义? 微分的运算法则? 一阶微分形式的不变性? 微分在近似计算中的应用 C.中值定理与导数的应用 1．? 中值定理? 罗尔定理? 拉格朗日中值定理? 柯西中值定理 2．? 罗必塔法则 3．? 泰勒中值定理 4．? 函数增减性的判定法? 函数的极值及其求法? 最大值、最小值及其应用问题 5．? 函数图形的凹向及其判定法? 拐点及其求法? 水平与垂直渐近线? 斜渐近线? 函数图形的描绘举例 6．? 弧微分? 曲率定义及其计算? 曲率半径? 两曲线的夹角 D.不定积分 1．? 原函数与不定积分的定义? 不定积分的性质? 基本积分公式 2．? 换元积分法（直接积分法、第二换元法） 3．? 分部积分法 4．? 有理函数、三角函数的有理式及简单无理函数的积分举例? 积分表用法。 E.定积分 1．? 定积分的定义? 定积分存在定理? 定积分的性质? 定积分中值定理 2．? 变上限定积分定义的函数及其导数? 牛顿——莱布尼兹公式 3．? 定积分的换元积分法与分部积分法 4．? 广义积分的概念和计算 F.定积分的应用 1．? 定积分的元素法 2．? 平面图形的面积? 体积 3．? 平面曲线的弧长 4．? 定积分在物理上的应用 G.微分方程 1．? 微分方程的一般概念（微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解） 2．? 可分离变量方程? 齐次方程? 一阶线性方程? 贝努利方程? 可降阶的高阶微分方程 3．? 二阶常系数齐次线性微分方程? 二阶常系数非齐次线性微分方程 4．? 微分方程的简单应用 H.向量代数与空间解析几何 1．? 空间直角坐标系? 两点间的距离 2．? 向量的概念? 向量的加减法、向量与数量的乘积? 投影定理? 向量的分解与向量的坐标? 向量的模? 单位向量? 方向余弦与方向数? 向径? 向量的数量积与向量积 两向量的夹角? 两向量平行与垂直的条件? 混合积 3．? 平面及其方程? 平面的点法式方程? 平面与平面的夹角 4．? 空间直线及其方程（一般式和参数式）平面与直线? 直线与直线之间的夹角? 直线与直线、直线与平面、平面与平面相互垂直的条件? 点到平面和点到直线的距离 5．? 曲面方程与空间曲线方程的概念? 球面方程? 旋转曲面方程? 母线平行于坐标轴的柱面方程? 空间曲线的参数方程? 螺旋线? 空间曲线在坐标面上的投影? 常用二次曲面方程及其图形（椭球面、抛物面、双曲面） I.多元函数微分学 1．? 多元函数的概念? 多元函数的定义? 区域? 二元函数的几何表示? 二元函数的极限与连续性? 有界闭区域上多元连续函数的性质 2．? 偏导数与全微分的概念? 全微分存在的必要和充分条件? 多元偏导数的几何意义 混合偏导数可以交换求导次序的条件 3．? 多元复合函数? 隐函数的求导法?? 二阶偏导数和高阶偏导数? 方向导数和梯度的概念及其计算? 4．? 全微分在近似计算中的应用? 5．? 偏导数的应用：空间曲线的切线和法平面? 曲面的切平面与法线 6．? 多元函数的极值及其求法? 最大值、最小值问题? 条件极值? 拉格朗日乘数法 J.多元函数积分学 1．? 二重积分? 二重积分的定义? 二重积分存在定理? 二重积分的性质 2．? 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）? 二重积分换元公式 3．? 二重积分的应用 ：曲面的面积? 平面薄片的重心? 平面薄片的转动惯量 4．? 三重积分的定义及性质? 三重积分的计算? 柱面坐标与球面坐标? 三重积分的应用 5．?? 曲线积分：对弧长和对坐标的曲线积分的定义? 曲线积分的性质? 曲线积分的计算与应用举例? 格林公式? 平面曲线积分与路径无关的条件? 已知全微分求原函数? 6．? 两类曲面积分的概念、性质及计算? 两类曲面积分的关系? 高斯公式? 斯托克斯公式? 散度、旋度的概念及计算? 曲线积分和曲面积分的应用 K.无穷级数 1．? 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义? 无穷级数的基本性质? 级数收敛的必要条件? 几何级数与P级数以及它们的收敛性 2．? 正项级数的比较审敛法与比值审敛法? 交错项级数? 莱不尼兹定理? 绝对收敛与条件收敛 3．? 幂级数一般概念? 幂级数的收敛半径与收敛区间? 幂级数在收敛区间里的基本性质（四则运算和的连续性? 逐项积分与逐项微分） 4．? 函数的幂级数展开式? 函数展开为泰勒级数的充分必要条件? 常见函数的麦克劳林展开式? 幂级数的应用（近似计算、欧拉公式） 5．? 付立叶级数：三角级数的概念? 奇函数与偶函数的付立叶级数? 函数展开为正弦级数或余弦级数? 任意区间上的付立叶级数 ? （五）本课程各部分内容的学习要求、重点及说明 A.函数、极限、连续 1．? 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。 2．? 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3．? 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4．? 掌握基本初等函数的性质及其图形。 5．? 理解极限、左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6．? 熟练掌握极限的性质及四则运算法则、极限存在的两个准则、两个重要极限，并会用两个重要极限求极限。 7．? 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8．? 理解函数连续性的概念及左、右连续的概念，会求函数的间断点和判别间断点的类型。 9．? 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 重点：函数极限、连续的概念? 极限的求法? 难点：极限的定义? 求不定型的极限、分段函数分段点的连续性 说明：用极限定义证明数列或函数的极限只要求有所了解。 ? B.导数与微分 1．????? 理解导数和微分的概念、导数和微分的关系、导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2．????? 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。 3．????? 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 4．????? 会求分段函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 重点：导数和微分的概念? 求导运算? 难点：复合函数、隐函数、分段函数、由参数方程所确定的函数的二阶导数 说明：注意结合实际讲解导数的实际应用。 ? C.中值定理与导数的应用 1．????? 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理。 2．????? 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 3．????? 理解函极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性、求函数的极值、函数的最大值和最小值的方法及其简单的应用。 4．????? 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线，会描绘函数的图形。 5．????? 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。 重点：拉格朗日中值定理? 罗必达法则? 函数极值、最值的求法、单调性的判定 难点：利用中值定理及函数单调性的证明? 最大最小值的应用问题 说明：建议增加练习，函数作图不宜过繁。? ? D.不定积分 1．理解原函数、不定积分的概念。 2．????? 掌握不定积分的基本公式、不定积分的性质及换元积分法和分部积分法。 3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 重点：不定积分的概念? 不定积分的计算? 难点：凑微分法与换元积分变量的选择? 分部积分? 说明：有理分式积分侧重于分母为二次三项式的积分，建议增加练习。 ? E.定积分及其应用 1．????? 理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理。 2．????? 掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 3．????? 理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿——莱布尼兹公式。 4．了解广义积分的概念，并会求广义积分。 5．????? 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、压力等） 重点：定积分的概念? 牛顿——莱布尼兹公式? 定积分的计算? 定积分的应用? 元素法 难点：变上限函数求导的应用? 极坐标积分变换? 元素法? 说明：加强元素法解实际问题的练习。? ? F.常微分方程 1．????? 了解微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解等概念。 2．????? 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．????? 会解齐次微分方程、伯努里方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4．????? 会用降阶法下列微分方程： 。 5．????? 掌握二阶常系数齐次微分方程的解法。 6．????? 会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数等二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 7．????? 会求欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程。 重点：微分方程的概念? 可分离变量微分方程? 一阶线性微分方程和二阶常系数微分方程的解法 难点：微分方程应用? 二阶常系数非齐次微分方程 说明：应培养学生根据实际问题建立微分方程并求解的能力。? ? G.向量代数与空间解析几何 1．????? 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2．????? 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。 3．????? 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表示，掌握用坐标表达式进行运算的方法。 4．????? 掌握平面方程的直线方程的求法，会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角。会求点到平面、点到直线的距离。 5．????? 理解空间曲面方程的概念，了解常用二次曲面方程及其图形，会求旋转曲面方程和柱面方程。 6．????? 了解空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程。 重点：向量的概念? 向量的坐标及运算? 平面与直线方程? 难点：曲面方程? 说明：对二次曲面的讨论要突出“截痕法”思想。? ? H.多元函数微分学 1．????? 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2．????? 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3．????? 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4．????? 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5．????? 掌握多元复合函数偏导数的求法。 6．????? 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7．????? 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8．????? 了解二元函数的二阶泰勒公式。 9．????? 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点：多元函数、偏导数与全微分的概念? 偏导数的计算? 多元函数的极值 难点：二阶偏导数? 拉格朗日乘数法?? 说明：二元函数的极限中要求有所了解，极限存在充分条件可不作证明。 ? I.多元函数积分学 1．????? 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2．????? 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3．????? 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4．??? 掌握计算两类曲线积分的方法。 5．????? 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 6．??? 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7．??? 了解散度与旋度的概念，并会计算。 8．?? 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 重点：二重积分的计算? 极坐标变换 对坐标的曲线积分? 格林公式? 曲面积分 难点：积分变换（极坐标变换）曲线和曲面积分 说明：可根据情况适当删去部分内容。 ? J.无穷级数 1．? 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．? 掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。 3．? 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．? 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．? 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．? 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．? 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．? 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 9．? 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10????? 掌握e 、 、 、 (1+x)和(1+x) 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11????? 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[- ， ]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0， ]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 重点：级数的概念? 级数收敛的判定? 收敛半径的区间? 幂级数展开 难点：比较审敛法? 幂级数近似计算的误差估计 说明：幂级数展开侧重于间接方法 |
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